数学Bデータベース。半完成、微分、積分。
数学Ⅱデータベース。
すべてのデータベースを お求めの方は、www.ndthikaru.com/suugaku.html へ どうぞ。
特に 数学ⅡBでは が オススメです。
特に は 名著です。
というわけで、
わたしのデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。
物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。
数学は チャートの目次を 利用することにします。
１．図形と方程式
「点と座標」 「直線の方程式」 「円の方程式」 「円と直線」 「軌跡と方程式」 「不等式と領域」
２．三角関数
「一般角と三角関数」 「三角関数の性質」 「加法定理」 「倍角・半角・積と和の公式」 「加法定理の変形」
３．指数関数と対数関数
「指数の拡張、累乗根」 「指数関数」 「対数とその性質」 「対数関数」 「常用対数」
４．微文法
「微分係数と導関数」 「関数の増減、極大・極小」 「最大値・最小値」 「グラフと方程式・不等式」
５．積文法
「不定積分」 「定積分」 「積文法と微文法」 「面積」 「体積」
１．図形と方程式
１．分点は たすきがけ
２．幾何的な定性を 座標空間に入れることで、定量しやすくする。
１．直線の定式は ３種類。これ以外は 必要ない。
１．１．傾きとｙ切片式
ｙ＝ｍｘ＋ｎ
１．２．法線ベクトルによる定式
ax+by+c=0
（法線ベクトル）＝（a,b）
直線上の定点A（ｊ、ｋ） と 動く点 P（ｘ、ｙ）として 内積定式
（ベクトルAP）・（法線ベクトル）＝０
（ｘ－ｊ、ｙ－ｋ）・（a,b） ＝０
a（ｘ－ｊ)+b(ｙ－ｋ） = 0
ax+by+ c=0
１．３．ベクトル表示定式
ベクトルOP＝ベクトルOA＋（方向ベクトル）・ｔ
ｔ は Time のｔ。ベクトルOP＝（x、ｙ）とすれば、ｔのパラメータ表示。
さて
あんまり 実用じゃないけど、でてくるその他の直線。
１．４．ふたつの定点AとBの 垂直２等分線。「大きさ＝大きさ」の軌跡
｜ベクトルAP｜＝｜ベクトルBP｜
１．５．束による ２次曲線どうしの共通弦定式。
ｆ＋ｋ・ｇ＝０ で二次項を 消す。
１．６．傾きが うごく ぐるぐる直線。
たとえば、ｙ＝ｔ（ｘ－３９）＋５１
１．７．接線定式。
ｙ＝ｆ’（ｔ）（ｘ－ｔ）＋ｆ（ｔ）
１．８．法線定式
ｙ＝－１/ｆ’（ｔ）（ｘ－ｔ）＋ｆ（ｔ）
１．８．極線定式。
１．９．角の２等分線
２．Hesseの点と直線の距離式。あるいは 点と平面の距離式
２．１．円と直線の関係。
２．２．球と平面の関係。
１．円定式
３変数。
１．中心と半径式
２．一般式
ｘｘ＋ｐｘ＋ｙｙ＋ｑｙ＋ｒ＝０
１．交点の判別式 は ２種類。
１．判別D式
ｙか ｘ の変数を 消して、２次関数扱いする。
２．Hesseによる半径と 直線と中心の距離 の関係式
軌跡については、上記 オススメの参考書である 「軌跡・領域」（今野和浩著）を 読めばわかります。と、この本をオススメして、わたしは 静かな大学生活に戻りたいところなんですが、確かに 理解はできるんですけど、この本を 完全に理解しても、立体的にイメージすることは できないんです。
やっぱり、平面的な 参考書に書かれた内容を 立体的に 豊かなデータベースに 昇華していく必要がある。
ここで 「値域」→「軌跡」→「領域」の 三階構造を はっきりさせましょう。
この考え方は わたしのオリジナルです。上の参考書には 載ってません。
１．「値域」→「軌跡」→「領域」の 三階構造
じゃあ この三つを 比較しましょう。テーブルを作ります。
たとえば ｓ、ｔ∈R で 次のような 条件式があったとします。３種で 条件と その定式が どういう形をしているか 比較してみましょう。
パラメータの条件式。 欲しい範囲を表現する定式
値域はX軸上の線。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＝３ｓｔ ｓ＋ｔ＝X の範囲
軌跡は XとY平面上の線。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＝３ｓｔ ｓ＋ｔ＝Xと ｓ・ｔ＝Yの範囲
領域は XとY平面上の面。 ｓｓｓ＋ｔｔｔ＞３ｓｔ ｓ＋ｔ＝Xと ｓ・ｔ＝Yの範囲
違いを はっきり 対象化できたでしょうか。これが データベースです。
値域は １次元の線分。軌跡は ２次元上の線。領域は、２次元上の平面。
２．「値域」→「軌跡」→「領域」に 共通する 定式イメージ。
たとえば 軌跡だと、
「（Ⅰ）点の分析的な定式群」→→→変数ｔ を 消す。→→「（Ⅱ）軌跡の 総合的な定式群」
①X＝（ｔの式） ① ｆ（ｘ、ｙ）＝０で グラフ。
②Y＝（ｔの式） ② グラフの範囲。ｘの範囲
③X、Y、ｔの範囲。少なくとも実数。
↑ ↑
↑ ↑
「（Ⅲ）ｆ（X,Y,ｔ）＝０ の式から、 「（Ⅳ）Vector OP＝（x、y）で 等式を作る」
（X,Y,）＝（（ｔの式）、（ｔの式））の 点を 抽出する。」
値域の場合、 （Ⅰ）→（Ⅱ）
領域の場合 上の軌跡の形とまったく同じ流れを持つ。
３．軌跡の 定式。（Ⅲ）→（Ⅰ）→（Ⅱ）の分析的定式系
１．頂点
２．重心、中点、内、外の分点
３．直交、交点
３．１．点と 直線
３．２．直線、直線
３．３．直線、放物線
３．４．直線 、円
３．５．放物線、放物線
３．６．円、円
４．反転点
５．条件点
こうして （X,Y,）＝（（ｔの式）、（ｔの式））を 抽出したら、
Y＝ｆ（X）になるように、ｔを 消す。
ｔ を 消すと 点→ 線分に 変化するイメージ が 大事。（ｔ はTime のt。時間に関係なくなるということは、存在する場所が 定式できたという証拠）
このとき、ｔの範囲によって、Xの範囲が 決まることに注意。
４．軌跡の定式。（Ⅳ）→（Ⅱ）の直接的定式系
１．距離系
１．１．点と点から １：１の距離に分布 すると、中線
１．２． 点と点から １：ｋの距離に分布 すると、アポロニウスの円
１．３． 点と線から １：１の距離に分布 すると、放物線
２．距離の和、差、積 一定系
１．１．距離の和一定 楕円
１．２．距離の差一定 双曲線
１．３．距離の積一定 反転（条件により、線か、円のどっちかになる）
３．Scale 一定系
１．１．内積一定系
１．２．三角形の面積一定系
軌跡から 領域になると （Ⅰ）において 点から線になる
「（Ⅰ）線の分析的な定式群」→変数ｔ を 消す。→→「（Ⅱ）領域の 総合的な定式群」
①ｆ（X、Y、ｔ）＝０ ① ｆ（ｘ、ｙ）＜０で グラフ。
②X、Y、ｔの範囲。少なくとも実数。 ② グラフの範囲。ｘの範囲
↑
（Ⅳ）図形の移動
１．線が動く軌跡が 領域。
上記の軌跡は 「点が動くことによって、軌跡として 線」ができました。
領域では 「線が動くことによって、軌跡として 平面」ができます。
つまり 線の通過範囲が 領域なんです。
さて、
領域の定式は 種類。
２．領域の定式。（Ⅰ）→（Ⅱ）の分析的定式
１．Fax 定式（直接的）
２．包み絡む定式（直接的）
３．媒介変数ｔの存在条件による間接的定式。
①ｔ が １次なら 「ジロー４flow」
②ｔ が ２次なら 「D判別式」
４．点上を ぐるぐる回る直線 と 平行に ズレながら うごく直線。
３．領域の定式。（Ⅳ）→（Ⅱ）の総合的定式
１．相似形の図形が ぐるぐる 動くグラフ。
これだけ。
というわけで、こういう感じで、データベースを 作ってみてください。
軌跡と領域の問題は チャート式では 太刀打ちできないことがよくわかると思います。
チャートでは 問題の種類が 少なすぎて、データベースが 不完全になってしまうからです。
今野和浩の 本で しっかり データを 増やしてください。
整理して覚えれば、確実に 試験中の 思い出せますよ。
２．三角関数
とりあえず、数学ⅠAの 三角関数のところを見てください。
そこで「円関数」の考え方から、 一般角の概念も、得られます。
１．三角関数というか 円関数による 変数の ２次関数
数学ⅠAで 止まった２次関数の や 動く２次関数と動く定義域による ｍ＆M の変化について データベースしました。
そのデータベースにおいて、ｘ が cosや sin に変化するだけ。
１．加法定理の覚え方は 記号化
S＋＝ｓｃ＋ｃｓ
S－＝ｓｃ－ｃｓ
こじつけ方。Sは plusは plusになる 素直なやつ。Sは ｓｃのように クロスタームになる。クロ「エス」タームになる。Cross term。そして、Sは ｓが 好きだから、ｓｃ の項が左になる。
上のsinの中の角度は α ＋β の順で、sinαcosβの順に、角度が 入っていく。
まあ、語呂合わせで やりたいひとは やってください。
次、
C＋＝ｃｃ－ｓｓ
C－＝ｃｃ＋ｓｓ
こじつけ方。Sは plusは minusになる あまのじゃくなやつ。ビタミンCといえば CCレモン。ｃｃやｓｓのようになる。そして、Cは ｃが 好きだから、ｃｃ の項が左になる。
こうやって SとCに 性格を つければ わたしは 覚えられました。色をつけるっていうかな。
これは わたしのオリジナルの覚え方です。
２．加法定理の証明。
わたしは 複素平面でやるのが 好きです。いろいろあるので 好きなやり方をどうぞ覚えてください。
加法定理が導き出せれば、すべての 三角関数の 定式を 思い出すことができます。覚えなくてもいいんです。
１．tanの加法定理。
これも 覚えなくてもいい。
ｔ＋＝ｓ＋/ｃ＋＝ｓｃ＋ｃｓ/ｃｃ－ｓｓ
「tanの加法定理は なす角定式」です
２．倍角というか 半角定式
２αの角のsin、cosを ’ を つけて 表示すると、
S'＝２ｃｓ （クロスタームを ｃとｓ で書くとき、普通は、ｃを先に書きます。それが 数学がわかっているひとと わかっていないひとを 見分けるリトマス試験紙みたいなものです。）
C’＝ｃｃ－ｓｓ＝２ｃｃ－１＝１－２ｓｓ
C’から 半角定式がでてきます。
これは 別名「三角関数の次数下げあるいは 次数上げ定式」であり「三角関数の √はずし定式」でもあります。
１．ｃｃ ｓｓ ｃｓ の２次項は すべて １次の項に 次数下げできます。
２．１＋ｃ 、１－ｃ は ２次式に 次数上げできます。これを 利用して、ルートを消す。
３．和→積、積→和 の定式。
これは 覚える必要なくて、導き出す必要がある定式です。２０秒以内に、定式を 思い出せるように 反復練習してください。
導き方は、カンタン。
S＋＝ｓｃ＋ｃｓ
S－＝ｓｃ－ｃｓ
を 足したり引いたりするか、
C＋＝ｃｃ－ｓｓ
C－＝ｃｃ＋ｓｓ
を 足したり引いたりするか だけです。
つまり ４通り。
S＋＋S－＝２ｓｃ
S＋－S－＝２ｃｓ
そして
C＋＋C－＝２ｃｃ
C＋－C－＝－２ｓｓ
和 ｖｓ 積
これを 右に行ったり、左に行ったりすればいいだけ。
１．asinθ＋ｂcosθ＝ｒ sin（θ＋α）は 加法定理だけど、加法定理を 使って、導かずに、絵を描いて、こじつけで すぐに定式できるようにする。
（a,b）という 座標を書いて、
＊。ここまでの すべての三角関数のｃとｓに関数する 定式を すべて 総動員して、三角関数の 方程式のデータベースを 作ります。
アフィリエイト次第で、データベースを 紹介しよーかなー
じゃあ、Teasing ついでに、ちょこっと 紹介。
「標準形。Acos（ω（ｔ＋T））」
１．cos、sin、tan の３元
２．ω の角速度元
３．ｔ の 時間元
４．Tの 時間ずれ元
この４つの元を 「一元化」することを考える。
１．cos、sin、tan の３元の一元化
１．１．三平方
１．２．tan消し
１．３．人と他人
１．４．ｃ＋ｓ合成
１．５．すべてを半角のt に変える。
１．６．すべてを ｃ＋ｓ＝ｗ の形に変える。
２．ω の角速度元の一元化
２．１．倍角式
３．ｔ の 時間元の一元化
３．１．等式条件 変数消し
４．Tの 時間ずれ元の一元化
４．１．加法
４．２．積和
４．３．和→積しぼり
「どうやったら 積の形にできるかだけを 考える」
（ｃだけの式）（ｓだけの式）＝０
「sin（ω（ｔ＋T））のωｔ＋Tの ωとTの形によって、定式を決める」式。
１．ω系。
１．ω＝＋１、－１系
θ＝３０具体化変換
２．ω＝２、１/２ 系
C’＝ｃｃ－ｓｓ
→二次同次化
←次数下げ
←同じθ化
→√消し
← 半角の式
S’＝２ｃｓ
→二次同次化
←次数下げ
←同じθ化
→ ｃｓ対称式化
３．ω＝３ 系
サンシャイン引いて夜風が身にしみる
４．ω＝４以上 系 は チョビチェフ
２．T系
１．T=＋－９０° 系
θ＝３０具体化変換
２．T=＋－１８０°系
θ＝３０具体化変換
３．指数関数と対数関数
１．指数を 考えるときも、つねに グラフと一対一で イメージし続ける。
ｙ＝eのｘ乗
２．「両辺を○乗する」ｖｓ「両辺を１/○乗する」
これは
ｙ＝ｘの○乗 グラフの中に入れて考える。
○が 奇数のときは ｘは 正でも負でもいいけど
偶数のときは ｘが 正のときのみ。でないと 複素数になる。これは 指数関数は 実数の時にしか考えない。
１．名前を はっきりさせる。「指数」「底」「対数」の３変数。
ｙ ＝aの ｘ乗
↑ ↑ ↑
「指数」 「底」 「対数」
じゃあ これの逆関数はといと、 logを使って表現する。
ｘ ＝log a ( ｙ ）
↑ ↑ ↑
「対数」 「底」 「指数」
２．大小比較。数の大小関係を保存するような 変換を使う。
比較するための、定規を用意する。定規の種類は３つ
２．１．底 定規による ｙ＝aのｃ乗グラフ
たとえば
ｙ＝２のｃ乗グラフと
ｙ＝３のｃ乗グラフ を ２つのグラフで 比べる。
２．２．指数 定規による ｙ＝ｃのa乗グラフ
たとえば
ｙ＝cの2乗と
ｙ＝cの3乗をグラフ を １つのグラフで 比べる。
２．３． 「両辺ｎ乗」定規による ｙ＝ｘのｎ乗グラフ
目標の数字が カンタンに 比較できる 整数になるように ｎ乗することで、比較する。
これは 目標の数字が 実数で 正だと、
ｙ＝ｘのｎ乗グラフ が 単調増加だから 比較が可能になる。
たとえば
ｘ＝２の１/２乗 と
ｘ＝３の１/３乗 を
ｙ＝ｘの６乗 グラフの中に入れると、
それぞれ
ｙ＝２の３乗 ＝８ と
ｙ＝３の２乗 ＝９ と ｙ軸に イメージできて 比較が可能になる。
３．指数方程式。
今まで、 ２次関数の方程式のｘ を 三角関数のsinやcosやtanにして ２次関数曲線を 描いていきました。それが
２次関数の方程式のｘ を 指数関数の（２のｘ乗） とかで ２次関数曲線を 描いていきます。
三角関数の場合、
sinθ＝定数 で ２つ θが定量できたり、１つだったりしますけど
指数関数も対数関数も 単調増加、単調減少なので １つしかでません。
４．指数方程式の 有理数解シボリ式
（２のｘ乗）＝３ という式になったとき。
この等式は インポテンツ、つまり 絶対に 成立しません。よって
（２のｘ乗）＝（３のｙ乗）という式では つねに
ｘ＝ｙ＝０ が定式データベース来ます。
ｎの０乗は つねに １だから 等式が 成立するからです。こういう定式も たまーーーーーーに 出ます。
対数は 指数の逆関数の位置関係です。おさらいすると次のようになる。
ただし、指数の違って、指数のことを 「真数」という。なぜ 名前を変えちゃうのかは 日本数学会に クレームを 入れてください。
ｙ ＝aの ｘ乗
↑ ↑ ↑
「真数」 「底」 「対数」
じゃあ これの逆関数はといと、 logを使って表現する。
ｘ ＝log a ( ｙ ）
↑ ↑ ↑
「対数」 「底」 「真数」
イメージは
（対数→底で 乗する→真数）
（真数→底で logする→対数）
です。
こういう 逆関数の例をいくつも知っていると、すんなりと することができます。
たとえば
ｙ＝ｘｘｘ の逆関数は
ｘ＝（ｙの１/３乗）
たとえば
ｙ＝sin ｘ の逆関数は
ｘ＝arcsin ｙ です。
（角度情報ｘ →円関数の変位ｙ）
（円関数の変位ｙ→角度情報ｘ）
絵でイメージすると
ｘ →ｆ ： 関数→ ｙ
ｙ →arc f ： 逆関数→ ｘ
ｘから 右に行くのが 関数。
ｙから 左に行くのが 逆関数。
２．対数を考えるときは、常に、グラフ上で考える。
対数関数のグラフは 指数関数のグラフを ｙ＝ｘで ぱったんと ひっくり返した形をしています。
関数ｆ と 逆関数arcfの
ｙ＝ｆ（ｘ）と ｙ＝arcｆ（ｘ） を 同じグラフにいれると
「常に、ｙ＝ｘ と 鏡の関係になる」
（ちなみに、ｘ＝arcｆ（ｙ） は ｙ＝ｆ（ｘ）と まったく同じ関数です。「ｙとｘ を ひっくり返す」という演算は、（x、ｙ）平面上のグラフを ｙ＝ｘ で 折り返すという行為と 同値なんです。）
変換だけを演算としてイメージすると、
arcf ・f ＝１
arcf ・f ・arcf ＝arcf
３。底の変換式。
これは 覚えてください。あんまり 深い意味はない。使いこなすことが大事。
くわしくは 受験教科書。清 史弘を どうぞ。
４．「両辺対数を とる。」というのは ｙ＝log ｘ のなかにいれるということ
たとえば ｐ＝ｑ の 両辺を対数をとる。というか 「logる」 という言葉のメタファーは
ｙ＝log ｘ より
P＝log ｐ
Q＝log ｑ
において、 ｐ＝ｑ が成り立つので、ｙ＝log ｘ は 単調増加で 一対一に対応するので、
P＝ Q も 成立する。
と、ここまでの 思考が メタファーになった言葉です。
５．どんな 指数も 対数にしてしまえば、どのくらいの数字か わかる。
たとえば ２の３０乗と ３の２０乗は どっちが大きいか。
「ログジュウ」つまり、「自然対数で logる 」と 大きさがわかる。
自然対数を log とすると、
log（２の３０乗）＝３０・log２＝３０×０．３＝９ つまり １０の９乗
log（３の２０乗）＝２０・log３＝３０×０．４７＝１４．１ つまり １０の１４．１乗
１０のｒ 乗 という形で、どんな指数も 表現が可能なので、指数を比較するのはカンタン。
そのためには log２、log３ 、log７を 覚えておけば ほとんどすべての指数を 表現できる。
log２＝０．３０１０３０ 去れ！一応 去れ！
log３＝０．４７７１２３ 死なない兄さん
log７＝０．８４５９８０ はしご 配れ
これは 亀田和久の覚え方。「ターミネーターから 逃げる主人公を 思い浮かべればいい」
追い詰められて、はしごで 逃げる様子を イメージ。
１．対数関数の２次関数方程式化。
三角関数、指数関数の次は、対数関数を ２次関数の方程式っぽく します。
対数関数は 単調増加、一対一対応、範囲なし なので、気兼ねなく、置換して ２次関数っぽく計算できます。
２．対数関数の方程式の log（ ）＝ log（ ） くらべっこ 式
指数関数でも ２のｘ乗＝３のｙ乗 で ｘ＝ｙ＝０ で定式できましたし
三角関数でも sin（ ）＝sin （ ）で くらべっこ できました。
対数でも もちろんできます。しかも 頻度としては、指数関数のくらべっこや 三角関数のくらべっこよりも はるかに 多いです。
３．logの大小。定式
指数では １．底統一 ２．対数統一 ３．ｎ乗して 分母を払う。の 三種類によって 比較しました。
対数では、１．logの定統一。 ２．真数統一。
４．指数に logの変数が 入っていたら、logる 信号。
１．数の基本的表記方法。
ｚを 整数として、ｋを ０から１未満の実数とする
（１から １０未満）×（１０の ｚ乗）
＝ （１０のｋ乗） ×（１０のｚ 乗）
＝ （１０のｋ ＋ｚ 乗）
＝ （１０のｋ＋ｚ 乗）
つまり ふつうの 次数ｒ ＝ｋ＋ｚ と 表現するってこと。
たとえば
－１２．３４＝０．６６＋（－１３）
こうやって 表記することで、すべての実数を、（１０のｒ 乗）のかたちで 表現することができる。
２．桁は 下駄を 履く メタファー式。
たとえば １０の１２．３４乗 ＝（１０の０．３４乗）×（１０の１２乗）
１０の１２乗だから １３桁。
これは 帰納的に導ける。
たとえば 「２」は 「１桁」
２＝（１０の０．３乗）×（１０の０乗）で 表現できる。
（０．３＝log２ だから）
３．小数第Ｎ位。のメタファー式。
たとえば
１０の－１２．３４乗＝（１０の０．６６乗）＋（１０の（－１３）乗）
１０の（－１３）乗だから 小数第１３位
これも 具体例から 導ける。
たとえば、０．２ は 小数第１位。
０．２＝（１０の０．３乗）×（１０の－１乗）
４．（１８の３５乗）の 最高次数の数字定量。
（１８の３５乗）＝（１０のｋ乗）×（１０のｚ乗）
の形にすればいい。logればいい。
それで １０のｋ乗を 整数で はさめば、求められる。
４．微文法
１．微分とは？データベース。
微分は いくつか 意味があります。コアイメージから いろんな派生イメージが でてくるからです。
１．１．「ｘ、ｙ平面でのグラフの２点間の傾き→１点の接線の傾き。」
定式は ｙ＝ｆ（ｘ） ｄｆ（x）/ｄｘ
１．２．積分の逆演算。
ｄ/ｄｘ（ ∫ｙｄｘ）＝ｙ
１．３．「変位ｒ の 速度」
ｄｒ/ｄｔ＝ｖ
これが 一番最初に モデルとして 開発された。ｒ＝ｆ（ｔ）グラフから １．１．を 通して得られたのが 「瞬間速度」という概念。
瞬間という とられようもない小さな単位を 扱うのが 微分。量子的世界なのだ。
一方、
平均速度とか を扱うのは 人間の住んでる世界。日常的世界。
１．４．「グラフを 描く道具としての 微分」
ｆ’（x） で 増減を調べる。
２．極限計算は 数学ⅢC で まとめてやります。
３．微分計算のイメージ。
１の１．２．の定義より、「傾き的世界観」から 「単なる演算子としての 微分」になるのが 微分計算です。
ｙ＝ｘｘｘｘ－４ｘｘｘ＋３ｘｘ－２ｘ＋１
ｙ＝＜１、－４、 ３、 －２、 １＞
微分演算子は 独立変数ｘ に対して、ｘに従属な変数ｙ において ｙ’ あるいは ｄｙ/ｄｘ と 表記します。
つまり（ｄ/ｄｘ）を ｙ に かけているのと まったく同じ感覚の 演算なのです。
さて、微分するときは、数学Ⅰで 紹介した ＜＞簡易表現式を 使いましょう。
ｙ＝＜１、－４、 ３、 －２、 １＞
ｙ’＝＜０、４ 、 －１２、 ６、－２＞
ｙ’’＝＜０、０、 １２ 、－２４、６＞
ｙ’’’＝＜０、０、 ０、 ２４、 －２４＞
ｙ’’’’＝＜０，０， ０ ，０ 、 ２４＞
ｙ’’’’’＝＜０，０，０，０，０，０＞
ちなみに ２階微分は
（ｄ/ｄｘ）（ｄ/ｄｘ）ｙ です。
＝ｄｄｙ/dx・ｄｘ
３階微分は ｄｄｄｙ/ｄｘ・ｄｘ・ｄｘ
帰納的に文字を 使って遊ぶうちに、この演算子に 慣れましょう。×とか ÷を 小学生のときに練習したように。
４．関数方程式。
方程式というか すべてのｘで 成立する等式なので 恒等式なんですけど、一応、別の角度から見ると、
関数方程式とは、 ｆ（ｘ） ごと 変数になった方程式。
たとえば、２次関数方程式で
ｘｘ ＋ ３ｘ＋９＝０ とかいう 方程式があったとする。
このスタイルで 関数方程式 があるとしたら
ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋３ｆ（ｘ）＋９＝０
このように ｆ（ｘ）とｘ と定数だけで 表現される方程式を、関数方程式と 呼ぶ。
最終的な目標は、与えられた関数方程式から ｆ（ｘ）を ｘだけの式であらわすこと。
これを 拡張して、
微分された ｆ（ｘ）、つまり ｆ’（ｘ）が 式に入っている関数方程式を 特に 、「微分方程式」と呼ぶ。
積分されたｆ（ｘ）、つまり ∫ｆ（ｘ）が 式に入っている関数方程式を 特に 、「積分方程式」と呼ぶ。
この両方は、大学受験にも出てきます。というのも、微分方程式は特に、
常微分方程式、Ordinary Differential Equation つまり ODEとして 物理と 解くからです。
たとえば 落下運動 下方向に ｘ 軸をとって
運動運動方程式は ｍa=mg
ｘ＝ｆ（ｔ）と 式がほしい。
加速度a は ｘの２階積分。つまり 速度の微分だから
ｍa =mg
mｆ''（ｔ）=mg
これも 微分方程式。２回 積分すれば、f（t）が 求まる。
ｆ（t）＝ｇｔｔ/２
こういう考え方は、理工系なら 確実に大学でやります。物理学科は 微分方程式を ときまくる生活になると思います。コンピューターに シュミレーションさせるのは 微分方程式を PCに計算させることだからです。
地球シュミレーターで ２１００年の 地球の温暖化具合を 調べるのも 微分方程式を 解いている。雨がどれくらい降るかも 微分方程式。もちろん、ロケットがどれくらい飛ぶかも 微分方程式。F-1の空気力学を 調べるのも、微分方程式。トヨタのプリウス エンジンを 設計するのも、微分方程式。
さて
テストにでてくるのは、次のタイプ。関数方程式といっても 恒等式に違いないので、恒等式の定性を 使って解く。
恒等式の定式は 「なにをいれても成立する」ことを 頼りに立てる。
１．ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋f（y）型。
この型は ｆ（x）が sin、log、指数関数の 特徴を 使っている。
解き方は １通りしかない。知っていれば解ける問題の典型。この解法は あんまり 一般的じゃないので、データベースの中に入れて、覚えればいい。
アフィリエイト後にかこうかなー。
２．整式ｆ と ｘ と ｆ’の恒等式型。
整式というのが 味噌。
ｐｘｘｘｘｘｘｘｘｘ＋ｑｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘ＋ｒｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘｘ＋・・・・・・・・・・・・・
のうち 最高次数ｎ を 定量する。恒等式であるから、比べっこすれば ｎを求められる。
１．グラフを描く技術。微分。グラフを書くとは、最大値、最小値をもとめるのと同値。
なんで グラフを描くことが強調されるかというと 最大値、最小値をもとめるため。
ⅡBだと、３次関数までしか 描きません。
１．条件を 定式して、グラフを書いているだけ。
だから、新しく学ぶのは、「条件を定式にすること。」
↑ この部分だけを データベースすればいい。
そうすれば、得意になりますよ。
１．３次関数の ｘ軸との交点定量。＝ ３次関数の方程式の解の個数。
２次関数だと Dや ｆ（頂点）の正負によって、動く２次関数、動く定義域での 解の個数を定量したんですけど、
３次関数では ｆ（左の極値）とｆ（右の極値）の正負によって 動く３次関数、動く定義域での 解の個数を定量します。
絵を描いて、すべて場合わけするところは ２次関数とまったく同じです。
５．積文法
１．積分の定義イメージ。
１．１．小さい長方形の無限足し算。
Σｆ（ｘ）Δｘ→∫ｆ（x）ｄｘ
１．２．微分の逆演算。
（∫ｄｘ）ｄｙ/ｄｘ＝∫ｄｙ＝ｙ
２．不定積分の計算は 微分の逆演算で 定式する。
定義の１．２．で 導出する。
１．積分の方向。積分ベクトル。
「囲まれた面積」は Scale。A地点から B地点への 道のり。
「定積分」は Vector。 A地点から B地点への 距離。 のイメージ。
ｘ軸の上の長方形は plus。
ｘ軸の下の長方形は minus。
ⅡBでは 出ませんけど、媒介変数表示した関数だと
右に動く関数の長方形は plus。
左に動く関数の長方形は minus。
２．積分計算のコツは 数学ⅢCで まとめて 書いてあります。
２．積分方程式。
微分方程式は、ｆ と ｆ’ と ｘ と定数によって 成り立っているものでした。
積分方程式は、 ｆ と ∫ｆｄｘ と ｘ と定数によって 成り立っているものです。
積分方程式は、微分方程式と違って、あんまり 実用じゃありません。どちらかっていうと、数式遊びっぽい。
形がいろいろあるので、分類しましょう。
まずは 見た目による場合わけ。
ｆ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ のALL型ｖｓ ｆ＝ｘ＋ｘｘ＋・・・＋∫ｆ（ｘ）ｄｘのHybrid型
そして もうひとつの分類が
∫ｆ（ｘ）ｄｘが 定数ｖｓ変数で 場合わけ。
２．０．ALL型ｖｓ Hybrid型
２．０．１ ALL型は ２種。積分範囲一定型ｖｓ 積分範囲変数型
２．０．２．Hybridも ２種。積分範囲一定型ｖｓ 積分範囲変数型
この種類による 角度では ４種類。
別の角度からみると、ちょっと 種類が増える。
２．１．∫ｆ（ｘ）ｄｘが 定数のとき。
２．１．１．積分範囲が 定数の場合、∫ｆｄｘは 定数ですので、その方程式は 積分方程式ではなくて、たんなる恒等式です。
（∫ｆ（ｘ）ｄｘの f（x）がわかっていて、計算できる場合と f（ｘ）がわからないで、計算できない場合の２種類があるんですが、ｆ（x）が わかって 計算できるなら、簡単すぎるので、ここでは データベースに入れません。）
∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Aとして
ｆ＝ｘ＋∫ｆ（ｘ）ｄｘ
＝ｘ＋ A
しかも
A＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ ＝∫（ｘ＋A）ｄｘ
この Aの関係を 「鏡像関係式」と わたしが 勝手に名づけました。
２．１．２．一見、∫ｆ（ｘ）ｄｘの ｆの中に、変数が入っているっぽい式。
あえて、第一の変数を a、二つ目の 変数を ｘ とします。つまり、変数の関係を 逆にしてます。絶対値を考えるときに、わかりやすくするためです。
ｆ（a）＝∫（a-x）ｄx
この式は ∫（ ）ｄｘの中から、ｘ を 摘出できます。
これを 「ガン摘出手術」といいます。
= -a +∫x ｄx
＝-a + A
特に、面倒な ガン摘出手術は 「絶対値から ガン摘出手術」です。
ｆ（a）＝∫|a－x|ｄx （積分範囲は ０から１）
ｘとa の範囲によって 絶対値を はずすんですけど、変数が二つあるので、すごく イメージしにくい。だからこそ、ｘを 第２の変数にしたんです。ｘ軸と 定数ａの関係にするためです。
そこで ｇ（ｘ）=|－ｘ＋a| として グラフを描く。
V は ｇ（x）グラフを 表現しています。aの値によって、平行移動するイメージです。
V V V V V V V→ ｘ
↑ ↑
０ １
ｇ（ｘ）=|－ｘ＋a| ｘ軸にそって、ｇ＝－ｘ＋a で下がって、ｘ軸にぶつかると、ｙ＝ｘ－aになって反射するような Vの形をしたグラフです。
これが 定数aの 値によって、ｘ軸上を 平行移動する。
積分範囲は ｘの変数で ０から１．
場合わけすると、３種類出てくる。
１）積分範囲の左端に V つまり a＜０
２）積分範囲の中 に V つまり ０＜a＜１
３）積分範囲の右端に V つまり １＜a
（（（もし この問題で、ｘ と aの 変数の関係を 逆に書いてしまうと、a軸 と ｇ軸 で ｘが 定数である グラフを書く必要がある。はっきりいって 気持ち悪い。いつも、定数は a、変数は ｘ として 扱っているのに、いきなり 役目を 変えてしまうと、混乱する。だから 変数を 変えました。）））
２．２．∫ｆ（ｘ）ｄｘが 変数のとき。
２．２．１．積分範囲に 変数が入っているとき。
「とりあえず 微分する」
イメージは （∫ｆ（ｘ）ｄｘ）’＝ｆ（ｘ） （これは 不定積分のイメージ）
これは 微分の定義イメージで 説明したとおり、微分の逆演算だから、「両辺を微分する」で、インテグラルを 消すことができる。
定積分のイメージは
∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝F(x)とすると
（F（X）－F（X））’＝X’・ｆ（X）－X'f(X)
一応、 ふと文字で 別の XとXでｘの関数であることを 強調しました。数学ⅢCでは こういう形になる。
でも なぜか 数学Ⅱでは X=（１次式ｘ）しか でない。
注意。この微分は （F（X）－F（X））’＝X’・ｆ（X）－X'f(X)の関係式から 成立しているので、
∫ｆ（ｘ－ｔ）ｄｘのように、別の変数が入っている場合、F（ｘ－ｔ）が どういう形になるのかわからないので、計算できない。
この場合、ｘ－ｔ＝ｖ のように置換して、ｆ（ｖ）と ｄｖ で 表現しなおせば、ｄ/ｄｖ で 微分して 計算が可能になる。これを 「置換によるガン摘出手術。」と呼ぶ。
＊＊ちなみに ∫ｘ・ｆ（ｘ）ｄｘ のように なっていても、普通に 微分できる。置換して、
ｘ・ｆ（ｘ）＝ｇ（x） とすれば いつもの形になるからだ。
２．２．２．ｆ（ｘ と変数ｔ ）のように ｆの中に 変数が入っているとき。
①。普通に計算できるなら 入っている状態で 計算する。
たとえば
ｆ（a）＝∫（３ｘｘ－２ｘa）ｄｘ で 範囲が ２から８．
これなら、普通に計算ができるので ｆ（a）＝ （aの関数）になる
②。計算できないなら、「置換ガン摘出手術」して 「微分できるようにする」
上の２．２．１．の説明の通り。
１．パズルを はめていくように、中途半端な面積を求める。
面積で 求められるのは、二次曲線と 直線によって囲まれた面積のみ。
形の作り方は、４種。
１．１．円と 直線。
円は 常に、「ショートケーキの形」が 基本形
１．２．円と 放物線
「ケーキの形」と 放物線の基本形である「ビニール袋に入れた水」を 組み合わせる。
１．３．放物線と 直線
「ビニール袋に入れた水」が 基本形。
そして、ビニル袋で うまく求められない 中途半端な形では
「消しゴム」型 で 求める U この形。
１．４．直線と直線
「直角三角形」が 基本形。
この 「ショートケーキ」「ビニル袋の水」（消しゴム型）「直角三角形」を 足したり引いたりすることで 面積を求める。
面積系は 計算が面倒なだけで、あんまり 難しくならない。
１．どんな名前の立体を足しているのか、はっきりさせる。
１．四角柱
２．円柱
３．三角柱
４．くりぬき円柱
東大の後期じゃないかぎり、定式に困ることはありません。
２．回転体の体積で 重なった部分を 無視する。
一番外側の関数だけを 回転させる。
くわしい データベースは 数学ⅢCで やります。
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